En marzo de 2024 escribí una columna titulada Problemas del Siglo, en la cual presentaba la Conjetura Jacobiana como uno de los dieciocho problemas propuestos por Steve Smale para el siglo XXI. Su enunciado pregunta, en términos simples, si un mapa polinomial de varias variables cuyo determinante Jacobiano es una constante distinta de cero debe poseer necesariamente una inversa polinomial. En aquel momento señalaba que, a pesar de la sencillez de su formulación, la conjetura permanecía abierta incluso en dimensión dos, y terminaba preguntándome si su resolución podría concretarse durante este siglo o alguno venidero. No imaginaba entonces que, dos años más tarde, durante la noche del 19 al 20 de julio de 2026, la historia de este problema cambiaría completamente.
Durante esa noche, Levent Alpöge anunció un mapa polinomial de C3 en C3 , obtenido con la colaboración de un sistema de inteligencia artificial llamado Claude Fable, cuyo determinante Jacobiano es la constante -2, pero que envía tres puntos distintos al mismo punto. En consecuencia, el mapa no puede poseer inversa y la Conjetura Jacobiana es falsa en dimensión tres. El anuncio original, que cabe prácticamente completo en una publicación de una red social, puede verse aquí.
Parece especialmente sorprendente que el contraejemplo sea de tan bajo grado. El mapa anunciado originalmente tiene grado total siete. Poco después aparecieron reducciones que producen contraejemplos cúbicos en dimensiones mayores, es decir, de grado tres, que es el menor grado posible, pues se sabe desde hace décadas que la conjetura es verdadera para mapas de grado menor o igual que dos. Resulta difícil no sentir cierta perplejidad frente al hecho de que un objeto que estuvo escondido durante casi noventa años pueda finalmente escribirse mediante fórmulas relativamente pequeñas y verificarse a través de cálculos directos.
El contraejemplo en dimensión tres se extiende inmediatamente a todas las dimensiones mayores, agregando coordenadas que no se modifican. Por lo tanto, para la formulación clásica sobre los números complejos, la Conjetura Jacobiana es falsa en toda dimensión mayor o igual que tres y permanece abierta solamente en dimensión dos. Es curioso que el caso que durante décadas fue considerado simplemente el primer caso no resuelto sea ahora el único lugar donde sobrevive la pregunta original.
Además, las grandes conjeturas rara vez caen solas. A lo largo de los años se demostró que la Conjetura Jacobiana estaba conectada, mediante equivalencias o reducciones profundas, con otros problemas importantes. La caída del problema original comenzó entonces a propagarse rápidamente. Entre los ejemplos se encuentran la Conjetura de Dixmier, formulada en términos de endomorfismos de las álgebras de Weyl, y la Conjetura de Anulación de Zhao, cuya formulación parece, a primera vista, muy distinta de la pregunta de Keller. También aparecieron contraejemplos para una formulación Hessiana estrechamente relacionada; uno de ellos puede consultarse aquí. Es importante señalar que muchos de estos resultados son todavía muy recientes y circulan como prepublicaciones o verificaciones computacionales, por lo que deberán recorrer los procesos habituales de revisión matemática. Sin embargo, la velocidad con la cual se han obtenido, comprobado y extendido estas consecuencias es, por sí misma, un hecho difícil de ignorar.
Quizás lo más inquietante no sea solamente que una conjetura histórica haya resultado falsa, sino la manera en que ocurrió. La inteligencia artificial no se limitó a revisar una demostración escrita por seres humanos o a ejecutar un cálculo previamente diseñado. Al parecer, participó de manera decisiva en la búsqueda del objeto correcto dentro de un espacio inmenso de posibilidades. Desde entonces, otros sistemas han ayudado a encontrar nuevas familias, nuevas reducciones y nuevas consecuencias. En unas pocas semanas se avanzó en direcciones que, bajo el ritmo habitual de nuestra disciplina, probablemente habrían requerido muchos años.
Creo que se aproxima un tiempo tormentoso para las matemáticas y, especialmente, para quienes hemos dedicado nuestra vida a ellas. Tendremos que preguntarnos qué significa descubrir, qué significa comprender y cuál será el lugar de la intuición humana cuando una máquina pueda recorrer, en segundos, territorios que nosotros apenas alcanzamos a imaginar. También tendremos que aprender a distinguir entre verificar una identidad, encontrar un ejemplo y comprender realmente por qué ese ejemplo existe.
Sin embargo, después de la tormenta suele salir el sol. Quiero creer que, una vez pasado el desconcierto inicial, habrá nuevamente espacio para pensar profundamente, para buscar significado en medio de una cantidad cada vez mayor de resultados y, sobre todo, para seguir haciendo las preguntas correctas. Tal vez esta sea la tarea que todavía nos corresponde durante este siglo: no necesariamente ser quienes calculen más rápido ni quienes exploren todas las posibilidades, sino quienes sean capaces de detenerse, comprender y formular las preguntas que valga la pena responder. Quizás eso sea, finalmente, lo único que nos queda; y quizás no sea poco.